少小不努力，老大空忙碌

缙云王旭龙

学习老师的一个问题，总结出一个关系式：由此及彼，举一反三。
abc+ade=a[bc+de]
a=6，b=7，c=8
a=6，d=4，e=9
6×7×8+6×4×9=336+216=552
6[7×8+4×9]=6[56+36]=6×92=552

老师的问题是：用简便方法求值
88×89+44×97                            【=7832+4268=12100】

=88×88+44×99                  【我前面减一个88，后面加两个44。老师也是这么处理】
=8×11×8×11+4×11×9×11
=11×11[8×8+4×9】
=121×100
=12100

121=a，8=b，c=8
121=a，4=d，9=e
121×8×8+121×4×9=121[8×8+4×9]=121×100=12100
abc+ade=a[bc+de]

早点睡。

缙云王旭龙

其实，昨晚歇前看了一个问题，并对老师的答案进行了验算。然后发现一个【特例】模式。
比如：2+2=2×2，就是一个特例，只有2，才有这种效应。
两个相同数的加和=两个相同数的乘积。

早上干活时，就总在想验算老师答案时发现的【特例】事件。

老师的问题是：
X+Y二=Y三
Y+X二=X三

我目瞪口呆笨，只看出[X，Y]=[0，0]     X=Y=0
0+0二=0三
0+0二=0三   


老师则除了有[X，Y]=[0，0]外，还有[X，Y]=【[1±√5]/2、[1±√5]/2】
X=Y=[1±√5]/2

X+Y二=Y三
Y+X二=X三
将±式，分出+式与-式
[1+√5]/2+【[1+√5]/2】二=【[1+√5]/2】三
[1-√5]/2+【[1-√5]/2】二=【[1-√5]/2】三

我分别输入正、负式进行验算：
[1+√5]/2+【[1+√5]/2】【[1+√5]/2】-【[1+√5]/2】【[1+√5]/2】【[1+√5]/2】=0显示
[1 -√5]/2+【[1 -√5]/2】【[1 -√5]/2】-【[1 -√5]/2】【[1 -√5]/2】【[1 -√5]/2】=0显示

那么说明：
[1+√5]/2+【[1+√5]/2】【[1+√5]/2】=【[1+√5]/2】【[1+√5]/2】【[1+√5]/2】
[1-√5]/2 +【[1-√5]/2】【[1-√5]/2】  =【[1-√5]/2】【[1-√5]/2】【[1-√5]/2】
于是我想：既然X=Y，那么X，Y就可以只用一个未知数代号来表达。
X+X二=X·X二
X+X·X=X·X·X      X=[1+√5]/2 【下面就以正号因式做说明】
X+X·X=X·[X·X]     这样就可以把[X·X]用a符号代表。
进一步简化。

X+a=X·a              
X=[1+√5]/2，
a=【[1+√5]/2】×【[1+√5]/2】=【[1+√5]/2】二

于是，两个不同数之和=两个不同数之积的特例模式：X+a=X·a   就出来了。

[1+√5]/2=1.618033988749894848显示
【[1+√5]/2】×【[1+√5]/2】=2.618033988749894848显示
【[1+√5]/2】+【[1+√5]/2】×【[1+√5]/2】=4.236067977499789696显示
【[1+√5]/2】×【[1+√5]/2】×【[1+√5]/2】=4.236067977499789696显示

          X         +         a              =          X         ×         a                【不同数】特例
【[1+√5]/2】+【[1+√5]/2】二=【[1+√5]/2】×【[1+√5]/2】二  【不同数】
         2          +         2              =         2          ×         2                【相同数】特例

古话，可遇不可求。我这豕在初中数学园地里，拱来拱去乱拱，拱出些【小聪明，野活络】。

缙云王旭龙

b>a
a+b=23   
b -a=7

[23+7]÷2=30÷2=15
[23 -7]÷2=16÷2=8
a=8，b=15
【[a+b]+[b-a]】÷2=b【大的数】
【[a+b] -[b-a]】÷2=a【小的数】

今天八月十五中秋节。

玩一下【数量变化的规律】。
a<b<c   【a,b,c是从小到大排列的三个连续自然数】
1+2-3=0
2+3-4=1
3+4-5=2
4+5-6=3
5+6-7=4
6+7-8=5
7+8-9=6
8+9-10=7
9+10-11=8
，，，，，
a+b-c=a-1    【常数1】
就算：0+1-2=-1  这个等式，也符合：a+b-c=a-1 模式】

另外：
a<b<c   【a,b,c是从小到大排列的三个连续自然数】
0二+1二-2二=-3                          【=a[a-3]+[a-3]】【=0[0-3]+[0-3]=-3】
1二+2二-3二=-4                          【=a[a-3]+[a-3]】【=1[1-3]+[1-3]=-4】
2二+3二-4二=-3                          【=a[a-3]+[a-3]】【=2[2-3]+[2-3]=-3】
3二+4二-5二=0                           【=a[a-3]+[a-3]】【=3[3-3]+[3-3]=0】

4二+5二-6二=5       【4×1+1=5】【=a[a-3]+[a-3]】
【先从这里推导出公式，再放到上面，下面去用】

5二+6二-7二=12     【5×2+2=12】【=5[5-3]+[5-3]=10+2=12】
6二+7二-8二=21     【6×3+3=21】【=6[6-3]+[6-3]=18+3=21】
7二+8二-9二=32     【7×4+4=32】【=7[7-3]+[7-3]=28+4=32】
8二+9二-10二=45   【8×5+5=45】【=8[8-3]+[8-3]=40+5=45】
9二+10二-11二=60 【9×6+6=60】【=9[9-3]+[9-3]=54+6=60】【常数3】
，，，，，，，

缙云王旭龙

早上4点半，骑车去上班的路上想起：
a<b<c   【a,b,c是从小到大排列的三个连续自然数，a+1=b，b+1=c，a+2=c】
a二+b二-c二=a[a-3]+[a-3]  还可以进一步简化为：
=[a+1][a-3]        而[a+1]=b
=b[a-3]

a二+b二-c二=b[a-3]
0二+1二-2二=1[0-3]=1×-3=-3
1二+2二-3二=2[1-3]=2×-2=-4
2二+3二-4二=3[2-3]=3×-1=-3
3二+4二-5二=4[3-3]=4×0=0
4二+5二-6二=5[4-3]=5×1=5
5二+6二-7二=6[5-3]=6×2=12
6二+7二-8二=7[6-3]=7×3=21
7二+8二-9二=8[7-3]=8×4=32   
8二+9二-10二=9[8-3]=9×5=45
9二+10二-11二=10[9-3]=10×6=60
，，，，，




下午躲凉继续玩：
玩到最后：
1二+20二-39二=-1120

这时候，b[a-？]

知道：a,b,c是三个相邻自然数时，b[a-3]。
思忖：a,b,c是三个相邻的奇数或偶数时，该b[a-3×2]=b[a-6].
这样就知道了：39-20=19，20-1=19。19是【共同差：g】。
那么：b[a-3×19]

20[1-3×19]=20[1-57]=-1120显示

给出这一类问题的通式：  b[a-3g]

b[a-3×1]   适用自然数如：1，2，3；    7，8，9；     11，12，13，，，，，，
b[a-3×2]   适用奇数，偶数如：1，3，5；    2，4，6；     3，5，7；，，，，，
b[a-3×3]   适用如：1，4，7；    2，5，8；     9，12，15；，，，，，，
b[a-3×4]   适用如：1，5，9；    7，11，15；     11，15，19；，，，，，，
b[a-3×5]   适用如：2，7，12；    16，21，26；     10，15，20；，，，，，，

缙云王旭龙

两数和平方=两数平方和+两数乘积的2倍
[a+b]二=a二+b二+2ab
昨天曾经想过以空间架构思维方式，进行[a+b]三=a三+b三+？的推导。不行，没头绪。
今天上午偷懒时，改换成由数量组合方式进行：[a+b]三=a三+b三+？推理。
发现[a+b]三-a三+b三后的数字，都能被3整除。比如：
2+5=7
7×7×7-2×2×2-5×5×5=343-8-125=343-133=210
210÷3=70
而70正好是=[2+5]×[2×5]=7×10=70
于是进行若干不同数字组合的验算，发现都是如此这般。
于是写出：
[a+b]三=a三+b三+3ab[a+b]

[a+b]三-a三+b三 后的剩余部分小方块，可以拼合成一个3×ab×[a+b]的立方体。

a=6，b=4
1000=[6+4]三=6三+4三+3×24×10=216+64+720=280+720=1000

这应该早有人分析出了。

比较差异：
[a+b]²=a²+b²+2ab
[a+b]³=a³+b³+3ab[a+b]

缙云王旭龙

论坛--数学中国，即中国数学论坛现在打不开，提示网站维护。就首发在这里。

[a+b]²=a²+b²+2ab
[a+b]³=a³+b³+3ab[a+b]     [a+b]=H【两数和，用H表示】

H²=a²+b²+2ab
H³=a³+b³+3abH

下午边干活边思考H四-a四-b四=？的问题。偷懒了十来分钟，就写出了：
H四-a四-b四=ab[3·H²+a²+b²]

H²=a²+b²+2ab
H³=a³+b³+3abH
H四=a四+b四+ab[3·H²+a²+b²]
H四-a四-b四=ab[3·H²+a²+b²]

怎么写出的过程先不说，要先进行验算为第一要务。
H=7，a=5，b=2   【H=a+b】
7四-5四-2四=5×2[3·7²+a²+b²]
7四=2401    5四=625，2四=16    2401-625-16=1760

5×2[3·7²+5²+2²]
10[3·49+25+4]=10×[147+25+4]=1760

再验算：
H=9，a=6，b=3   【H=a+b】
9四-6四-3四=6×3[3·9²+6²+3²]
9四=6561    6四=1296，3四=81    6561-1296-81=5184

6×3[3·9²+6²+3²]
18[3·81+36+9]=18×[243+36+9]=18×288=5184显示


之前看到：a四+b四=？的问题，就想写：[a+b]四与a四+b四 的差的关系式。刚开始就产生一个头绪。可是觉得应该先知道[a+b]三与a三+b三的差的关系式。上午写出[a+b]³=a³+b³+3ab[a+b]后，就有了上升的阶梯。下午，就在[a+b]³=a³+b³+3ab[a+b]关系式的基础上进行思考，先写出很长的关系式，然后进行【合并同类项】归纳综合成简洁短小紧凑的关系式。头先产生的那个【头绪，一闪念】就是一把钥匙，一把利斧。顺着那个思路，就一泻而下了。

缙云王旭龙

10月10号的数学作孽

5四+2四=625+16=641     【用差求法】
5 -2=3【5-2 差 c】
5×2=10【ab 积 j】
a=5，b=2
老师的公式
【[a-b]²+2ab】² - 2[ab]²=a四+b四
代入
【[5-2]²+2·5×2】² - 2[a×b]²=5四+2四=641
【3²+2·10】² - 2[10]²=5四+2四=641
【9+20】² - 2×100=5四+2四=641
29² - 200=5四+2四=641
841-200=641

简化：
【c²+2j】² - 2·j²=a四+b四

我的【和求法】
a+b=5+2=7【和 H】
ab=10   【积 J】
7四-10[3·7²+5²+2²]=5四+2四=641
2401-10[3·49+25+4]=5四+2四=641
2401-10[147+29]=5四+2四=641
2401-10[176]=5四+2四=641
2401-1760=625+16=641

[c²+2j]² - 2·j²       =a四+b四    老师的差求法
H四-j[3·H²+a²+b²]=a四+b四    老农的和求法

殊途同归
和求法的推演思路
5+2=7
7×7×7×7=2401
5×5×5×5=625
2×2×2×2=16

7×7×7×7=7×7×7×5+7×7×7×2  一斧头劈两份
[7×7×7]×5+[7×7×7]×2              立方

[7×7×7]×5与[5×5×5]×5   [7×7×7]与[5×5×5]  的5份立方差
[7×7×7]×2与[2×2×2]×2   [7×7×7]与[2×2×2]  的2份立方差

立方差公式应用
[7-5][7二+5二+7·5]×5+
[7-2][7二+2二+7·2]×2

5[7-5][7二+5二+7·5]+
2[7-2][7二+2二+7·2]

10[7二+5二+7·5]+
10[7二+2二+7·2]

综合起来
10[7二+7二+7·5+7·2       +5二+2二]
10[3·7二+5二+2二]=1760

7四=2401
2401-1760=641

缙云王旭龙

刚刚写了[a+b]五与[a五+b五]的关系式

[a+b]五-[      ]=[a五+b五]     【和求法】
[a+b]五-[a五+b五] =[  ?  ]
ab=积     J
a+b=和  H
J【[H+a][H二+a二]+[H+b][H二+b二]】
验算：设a=5，b=2   H=7， J=10
5×2【[5+2+5][7二+5二]+[5+2+2][7二+2二]】
10【[12][49+25]+[9][49+4]】
10【[12][74]+[9][53]】
10【888+477】
10×1365
=13650

[5+2]五-[5五+2五]
=7×7×7×7×7-【[5×5×5×5×5]+[2×2×2×2×2]】
=16807-【3125+32】
=16807-3157
=13650


J【[H+a][H二+a二]+[H+b][H二+b二]】
ab【[a+b+a][H二+a二]+[a+b+b][H二+b二]】

中午上班前几分钟，写出：大数四-小数四的关系式：
a大数四-b小数四
a四-b四=[a-b][a+b][a二+b二]
            =差×和×[a二+b二]
            =CH[a二+b二]

设a=5，b=2 ，C=3，H=7  代入验算
CH[a二+b二]=3×7[25+4]
=21×29
=609

5×5×5×5-2×2×2×2
=625-16
=609

有了：a四-b四=[a-b][a+b][a二+b二]

才可以编织出：
[a+b]五-[a五+b五] =J【[H+a][H二+a二]+[H+b][H二+b二]】


a二-b二=[a-b][a+b]    =CH        差×和
a三-b三=[a-b][a二+b二+ab]      差×[a二+b二+ab]
a四-b四=[a-b][a+b][a二+b二]    差×和×[a二+b二]【我自己想的】

6四-1四=1296-1=1295
[6-1][6+1][6二+1二]
=[5][7][37]
=35×37
=1295

2四-1四=16-1=15
[2-1][2+1][2二+1二]
=[1][3][5]
=3×5
=15

16四-11四=65536-14641=50895
[16-11][16+11][16二+11二]
=[5][27][377]
=135×377
=50895
玩的痛快。

缙云王旭龙

上午又偷懒躲阴凉处，玩计算器了，得出：【a>b】时，
a六-b六=[CH][aH+b二][aC+b二]
a六-b六=     [CH]          ×    [aH+b二]    ×    [aC+b二]
a六-b六=【[a-b][a+b]】【a[a+b]+b二】【a[a-b]+b二】

代入：a=7，b=3  验算：  7六-3六=116920
7六-3六=【[7-3][7+3]】【7[7+3]+3二】【7[7-3]+3二】
7六-3六=【[4][10]】【7[10]+9】【7[4]+9】
117649-729=【40×79×37】
116920=116920



我推演时，那是代入：a=7，b=4 的。 验算：  7六-4六=113553
7六-4六=【[7-4][7+4]】【7[7+4]+4二】【7[7-4]+4二】
7六-4六=【[3][11]】【7[11]+16】【7[3]+16】
117649-4096=【33×93×37】
113553=113553

若代入：a=7，b=5  验算：  7六-5六=117649-15625=102024
7六-5六=【[7-5][7+5]】【7[7+5]+5二】【7[7-5]+5二】
7六-5六=【[2][12]】【7[12]+25】【7[2]+25】
117649-15625=【24×109×39】
102024=102024

再代入：a=8，b=5  进一步验算：  8六-5六=262144-15625=246519
8六-5六=【[8-5][8+5]】【8[8+5]+5二】【8[8-5]+5二】
8六-5六=【[3][13]】【8[13]+25】【8[3]+25】
262144-15625=【39×129×49】
246519=246519

可以肯定：【a>b】时，
a六-b六=[CH][aH+b二][aC+b二]    成立

a六-b六=     [CH]           ×    [aH+b二]       ×    [aC+b二]
a六-b六=【[a-b][a+b]】×【a[a+b]+b二】×【a[a-b]+b二】

推理过程
7六-4六=113553【好记】
将113553进行拆分化繁，【别人都是化简，我化繁】根据113553÷3=正整数，我就质数分解它，得：
113553=3×3×11×31×37
根据7-4=3，7+4=11，3×11=33  
[3×11]=[7-4][7+4]=33  先提取33。

将：[3×11]×[3×31×37]  再分配组合
[3×11]×[3×31]×37
[3×11]×93×37
[3×11]×[77+16]×[21+16]
[3×11]×[7×11+4二]×[7×3+4二]
【[7-4][7+4]】×【7×[7+4]+4二】×【7×[7-4]+4二】
【如同过去的财主家来了很多客人，晚上一一安排客人睡觉，非常妥当，没有客人觉得别扭】

编代号
【[7-4][7+4]】×【7×[7+4]+4二】×【7×[7-4]+4二】
【[a-b][a+b]】×【a×[a+b]+b二】×【a×[a-b]+b二】

【[差][和]】×【a×[和]+b二】×【a×[差]+b二】

a六-b六=【ch】×【ah+b二】×【ac+b二】

缙云王旭龙

今天写出：【其中有立方差因式[a-b][a二+b二+ab]】
a五-b五=[a-b][a+b]a三+[a-b][a二+b二+ab]b二
a=7，b=4时    7五=16807     4五=1024     16807-1024=15783
7五-4五=[7-4][7+4]7×7×7+[7-4][7×7+4×4+7×4][4×4]=15783
7五-4五=[3][11]343+[3][49+16+28][16]=15783
7五-4五=33×343+3×93×16=15783
7五-4五=11319+4464=15783


a五-b五=[a-b][a+b]a三+[a-b][a二+b二+ab]b二
今天农历9月17，代入 a=17，b=9  17五=1419857     9五=59049   差是1360808
a五-b五=[17-9][17+9]17三+[17-9][17二+9二+17·9]9二
a五-b五=[8][26]4913+[8][289+81+153]81
a五-b五=1021904+[8][523]81
1419857-59049=1021904+338904
1360808=1360808

缙云王旭龙

1三+1二=2
2三+2二=12
3三+3二=36
4三+4二=80
5三+5二=150
6三+6二=252
7三+7二=392
8三+8二=576
9三+9二=810
10三+10二=1100
11三+11二=1452
12三+12二=1872
，，，，，，
任意两组因式值之间的差：在a>b条件下
[a-b][a二+b二+ab+a+b]        【也是数列中，相邻两数的该因式值之间的级差公式】

验算，将a=13，b=12    代入上式里
[13-12][13×13+12×12+13×12+13+12]
=[1][169+144+156+13+12]
=1×494
=494
[13×13×13+13×13]-[12×12×12+12×12]=494显示


再验算，将a=13，b=9    代入上式里
[13-9][13×13+9×9+13×9+13+9]
=[4][169+81+117+13+9]
=4×389
=1556
[13×13×13+13×13]-[9×9×9+9×9]=1556显示


再验算，将a=13，b=2    代入上式里
[13-2][13×13+2×2+13×2+13+2]
=[11][169+4+26+13+2]
=11×214
=2354
[13×13×13+13×13]-[2×2×2+2×2]=2354显示



立方差+平方差
如
3三+3二=36
4三+4二=80
80-36=44

【4三+4二】-【3三+3二】=80-36=44
=[4三-3三]+[4二-3二]=37+7=44

立方差公式：[a-b][a二+b二+ab]
平方差公式：[a-b][a+b]
综合：[a-b][a二+b二+ab+a+b]
[a-b]【a二+b二+[ab]+[a+b]】
[c][a二+b二+j+h]
[两数的差][a二+b二+两数积+两数和]

再验算，将a=13，b=5    代入上式里
[13-5][13×13+5×5+13×5+13+5]
=[8][169+25+65+18]
=8×277
=2216
[13×13×13+13×13]-[5×5×5+5×5]=2216显示

缙云王旭龙

10月24日
计算：48二=?，两种方法，看看差距有多大。【徽乡小居】
我的方法：            【根据：47×49+1=48二】
48二=46×50+4              =[48-2][48+2]+4
=2300+4
=2304

老师列举了两种方法，一种是笔算竖式相乘法：
         48
      ×48
——————
      384
    192
——————
    2304

老师的另外一种方法：
48二=[50-2]二
=50二-2×50×2+2二
=2500-200+4
=2300+4
=2304  

我总结一下：
47×49+1  =[48-1][48+1]+1×1=2303+1=2304
46×50+4  =[48-2][48+2]+2×2=2300+4=2304
45×51+9  =[48-3][48+3]+3×3=2295+9=2304
44×52+16=[48-4][48+4]+4×4=2288+16=2304
43×53+25=[48-5][48+5]+5×5=2279+25=2304
42×54+36=[48-6][48+6]+6×6=2268+36=2304
41×55+49=[48-7][48+7]+7×7=2255+49=2304
40×56+64=[48-8][48+8]+8×8=2240+64=2304
，，，，，，

来个关系式：
m二=[m-n][m+n]+n×n


中午下班，骑车上时想：48三=47×48×49+48=110592，其关系式如何。

吃饭后用8三=7×8×9+8=512  来进行推演

应该写作：m三=[m-n][m][m+n]+mn二

8三=7×8×9+8×1×1=504+8=512
8三=6×8×10+8×2×2=480+32=512
8三=5×8×11+8×3×3=440+72=512
8三=4×8×12+8×4×4=384+128=512
8三=3×8×13+8×5×5=312+200=512
8三=2×8×14+8×6×6=224+288=512
8三=1×8×15+8×7×7=120+392=512


m三=[m-n][m][m+n]+mn二

缙云王旭龙

下午下雨，躲雨时又玩计算器，晚饭后整理出一个式子：
[m-n]二·[m+n]二+m二·n二+[m-n]·[m+n]·n二=？
代入m=8，n-3
[8-3]二·[8+3]二+8二·3二+[8-3]·[8+3]·3二
=[5]二·[11]二+8二·3二+[8-3]·[8+3]·3二
=25×121+64×9+5×11×9
=4096

8×8×8×8=4096

[m-n]二·[m+n]二+m二·n二+[m-n]·[m+n]·n二=m四

[8-1]二·[8+1]二+8二·1二+[8-1]·[8+1]·1二
=[7]二·[9]二+8二·1二+[7]·[9]·1二=
=49×81+64+63        【63×63+64+63=3696+127=4096】
=3969+127
=4096
=8×8×8×8

[8-2]二·[8+2]二+8二·2二+[8-2]·[8+2]·2二
=[6]二·[10]二+8二·2二+[6]·[10]·2二             【60×60+64×4+240】
=36×100+64×4+240        
=3600+256+240
=4096
=8×8×8×8

蔚青

欣赏！

缙云王旭龙

[m-n]二·[m+n]二+m二·n二+[m-n]·[m+n]·n二=m四
上午躲雨时，整理了一下：【合并了一个同类项】
[m-n]二·[m+n]二+【m二+[m-n]·[m+n]】· n二=m四
代入m=8，n=2 验算：
[8-2]二·[8+2]二+【8二+[8-2]·[8+2]】2二=8四
[6]二·[10]二+【8二+[6]·[10]】2二=8四
36×100+【64+60】2二=8四
3600+124×4=8四
3600+496=8四
4096=8四
4096=8×8×8×8